Artikel Pendidikan

10+ Contoh Soal Menentukan Kedudukan Garis terhadap Lingkaran & Cara Pengerjaannya

Halo para pembaca blog matematika, kembali lagi di blog kita tercinta. Pada kesempatan kali ini, kita akan membahas materi menentukan kedudukan garis terhadap lingkaran beserta contoh soal dan pembahasannya.

Materi ini penting dipelajari karena sering muncul di ujian dan latihan soal matematika. Sayangnya, banyak yang merasa kesulitan dalam mengerjakan soal-soal terkait kedudukan garis dan lingkaran. Tenang saja, di artikel ini kita akan belajar bareng step by step cara menentukan kedudukan garis terhadap lingkaran dengan berbagai contoh soal latihan.

Jadi, siapkan pensil dan kertasmu! Kita akan sama-sama paham materi ini setelah membaca artikel ini sampai selesai. Let's go!

Pendahuluan: Pengertian Kedudukan Garis terhadap Lingkaran

Sebelum masuk ke contoh soal, kita ulas dulu pengertian dasar dari kedudukan garis terhadap lingkaran.

Kedudukan garis terhadap lingkaran adalah cara menentukan posisi sebuah garis terhadap sebuah lingkaran. Apakah garis itu memotong lingkaran, menyinggung lingkaran, atau sama sekali tidak memotong lingkaran.

Cara menentukan kedudukan garis terhadap lingkaran adalah dengan mencari nilai diskriminan (D) dari persamaan garis dan persamaan lingkaran.

Berikut adalah 3 kemungkinan kedudukan garis terhadap lingkaran berdasarkan nilai D:

  • Jika D > 0, maka garis memotong lingkaran di dua titik yang berbeda.
  • Jika D = 0, maka garis menyinggung lingkaran pada satu titik.
  • Jika D < 0, maka garis tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran.

Rumus umum untuk mencari nilai D adalah:

D = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 - r^2

Keterangan:

  • (x1, y1) adalah koordinat pusat lingkaran
  • r adalah jari-jari lingkaran
  • (x2, y2) adalah koordinat sembarang titik yang memenuhi persamaan garis

Nah, setelah paham konsep dasarnya, sekarang kita langsung saja masuk ke contoh soalnya!

Contoh Soal Kedudukan Garis terhadap Lingkaran

Berikut ini ada 10 contoh soal menentukan kedudukan garis terhadap lingkaran beserta pembahasannya. Kita mulai dari soal paling mudah hingga paling susah. Jadi, jangan khawatir! Pasti bisa asalkan disimak dan dipahami step by step penjelasannya.

Contoh 1: Menentukan Kedudukan Garis 2x + 3y - 5 = 0 terhadap Lingkaran x2 + y2 - 4x + 6y + 1 = 0

Pertama, kita tentukan persamaan garis dan lingkarannya:

  • Persamaan garis: 2x + 3y - 5 = 0
  • Persamaan lingkaran: x2 + y2 - 4x + 6y + 1 = 0

Kemudian substitusikan persamaan garis ke persamaan lingkaran untuk mendapatkan nilai x dan y:

2x + 3y - 5 = 0 x2 + y2 - 4x + 6y + 1 = 0

Dari persamaan di atas, didapat:

  • x = 1
  • y = 2

Selanjutnya masukkan nilai x dan y yang didapat ke rumus D:

D = (x1 - x2)2 + (y1 - y2)2 - r2

Nilai x1 dan y1 didapat dari koefisien x dan y pada persamaan lingkaran:

  • x1 = -4
  • y1 = 6

Sedangkan r didapat dari -c pada persamaan lingkaran:

  • r2 = -(-1) = 1

Maka:

D = (-4 - 1)2 + (6 - 2)2 - 12 D = 9 + 16 - 1 D = 24

Karena D > 0, maka garis memotong lingkaran di dua titik yang berbeda.

Contoh 2: Menentukan Titik Potong Garis x - 4y + 7 = 0 dan Lingkaran x2 + y2 - 6x - 8y + 25 = 0

Pada soal ini, kita diminta untuk mencari titik potong antara garis dan lingkaran, bukan hanya menentukan kedudukannya.

Langkahnya hampir sama, kita tetap harus mencari nilai x dan y terlebih dahulu dengan mensubstitusikan persamaan garis ke lingkaran:

  • Persamaan garis: x - 4y + 7 = 0
  • Persamaan lingkaran: x2 + y2 - 6x - 8y + 25 = 0

x - 4y + 7 = 0 x2 + y2 - 6x - 8y + 25 = 0

Didapat:

  • x = 3
  • y = 1

Jadi, titik potong garis dan lingkaran adalah (3, 1).

Kita bisa memastikan hasil ini dengan mensubstitusi nilai x dan y yang didapat ke persamaan garis dan lingkaran:

  • Substitusikan ke persamaan garis: x - 4y + 7 = 0 3 - 4(1) + 7 = 0 3 - 4 + 7 = 0 6 = 6 (Memenuhi!)

  • Substitusikan ke persamaan lingkaran: x2 + y2 - 6x - 8y + 25 = 0 32 + 12 - 6(3) - 8(1) + 25 = 0 9 + 1 - 18 - 8 + 25 = 0 9 - 26 + 25 = 0 8 = 8 (Memenuhi!)

Jadi, koordinat (3, 1) memenuhi persamaan garis dan lingkaran sehingga merupakan titik potong keduanya.

Contoh 3: Menentukan Nilai a agar Garis 2x + ay + 1 = 0 Menyinggung Lingkaran x2 + y2 - 4x + 6y + 4 = 0

Pada soal ini, kita diminta mencari nilai a agar garis menyinggung lingkaran. Artinya, nilai D harus bernilai 0.

Kita substitusikan persamaan garis ke lingkaran untuk mendapatkan nilai x dan y:

  • Persamaan garis: 2x + ay + 1 = 0
  • Persamaan lingkaran: x2 + y2 - 4x + 6y + 4 = 0

2x + ay + 1 = 0 x2 + y2 - 4x + 6y + 4 = 0

Didapat:

  • x = 2
  • y = -1

Kemudian substitusikan x dan y ke rumus D dan tentukan nilai a agar D = 0:

D = (x1 - x2)2 + (y1 - y2)2 - r2

x1 = -4
y1 = 6 r2 = -4

D = (-4 - 2)2 + (6 - (-1))2 - (-4) D = (-2)2 + (7)2 - (-4) D = 4 + 49 - (-4) D = 57 - (-4) D = 57 + 4 D = 61 - 4a2

Agar D = 0: 61 - 4a2 = 0 4a2 = 61 a2 = 61/4 a = ±7

Jadi nilai a agar garis menyinggung lingkaran adalah a = 7 atau a = -7.

Contoh 4: Menentukan Kedudukan Garis 3x - 4y + 8 = 0 terhadap Lingkaran x2 + y2 - 2x + 6y - 7 = 0

  • Persamaan garis: 3x - 4y + 8 = 0
  • Persamaan lingkaran: x2 + y2 - 2x + 6y - 7 = 0

Substitusi: 3x - 4y + 8 = 0 x2 + y2 - 2x + 6y - 7 = 0

Didapat:

  • x = 2
  • y = 1

Maka:

  • x1 = -2
  • y1 = 6
  • r2 = 7

D = (-2 - 2)2 + (6 - 1)2 - 72 D = 0 + 25 - 49 D = -24

Karena D < 0, maka garis tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran.

Contoh 5: Tentukan nilai k agar garis y = kx + 1 berpotongan dengan lingkaran x2 + y2 - 4x - 2y + 1 = 0

  • Persamaan garis: y = kx + 1
  • Persamaan lingkaran: x2 + y2 - 4x - 2y + 1 = 0

Substitusi: (kx + 1)2 + x2 - 4x - 2(kx + 1) + 1 = 0 (k2 + 1)x2 + 2kx + 1 + x2 - 4x - 2kx - 2 + 1 = 0 (k2 + 2)x2 + (-2k - 2)x - 2k = 0

Syarat agar garis dan lingkaran berpotongan adalah persamaan kuadrat di atas memiliki akar real atau D ≥ 0.

D = (-2k - 2)2 - 4(k2 + 2)(-2k) D = 4k2 + 4k + 4 - 4k2 - 16k D = -12k + 4

Agar D ≥ 0, maka: -12k + 4 ≥ 0 -12k ≥ -4 k ≤ 1/3

Jadi nilai k agar garis berpotongan dengan lingkaran adalah k ≤ 1/3.

Contoh 6: Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2 + y2 - 4x + 8y + 7 = 0 dan melalui titik (1, 2).

Syarat garis menyinggung lingkaran adalah nilai D = 0.

Kita misalkan persamaan garisnya dalam bentuk y = mx + c. Karena melalui (1, 2), maka: 2 = m(1) + c c = 2 - m

Persamaan garisnya menjadi: y = mx + (2 - m)

Substitusikan ke persamaan lingkaran: (mx + (2 - m))2 + x2 - 4x + 8(mx + (2 - m)) + 7 = 0 m2x2 + 2(2 - m)mx + (2 - m)2 + x2 - 4x + 8mx + 16 - 8m + 7 = 0 (m2 + 1)x2 + (8m - 6)x + 9 - 6m + 7 = 0

Agar D = 0, maka: (8m - 6)2 - 4(m2 + 1)(9 - 6m + 7) = 0 64m2 - 96m + 36 - 36m2 - 36m - 28 = 0 28m2 - 132m + 64 = 0 m2 - 4m + 2 = 0 (m - 2)(m - 2) = 0

Jadi nilai m adalah 2. Maka persamaan garisnya adalah: y = 2x

Contoh 7: Diketahui lingkaran (x - 1)2 + (y + 2)2 = 16. Tentukan nilai k agar garis y = kx + 3 berpotongan dengan lingkaran.

  • Persamaan lingkaran: (x - 1)2 + (y + 2)2 = 16
  • Persamaan garis: y = kx + 3

Substitusi: (kx + 3 + 2)2 + (x - 1)2 = 16 (kx + 5)2 + (x - 1)2 = 16 k2x2 + 10kx + 25 + x2 - 2x + 1 = 16 (k2 + 1)x2 + (10k - 2)x + 24 = 0

Agar memiliki akar real, maka D ≥ 0 D = (10k - 2)2 - 4(k2 + 1)24 D = 100k2 - 40k + 4 - 96k2 - 96 D = 4k2 - 40k + 100

4k2 - 40k + 100 ≥ 0 4k2 - 40k + 25 ≥ 75 (2k - 5)2 ≥ 75 2k - 5 ≥ ±√75 2k ≥ 5 ± √75 k ≥ (5 ± √75)/2

Jadi nilai k agar garis memotong lingkaran adalah k ≥ 2,5 + 5√3 atau k ≥ 2,5 - 5√3

Contoh 8: Diketahui titik pusat lingkaran O(5, -3) dan jari-jari 4 satuan. Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran tersebut dan melalui titik A(3, 5)!

  • Titik pusat lingkaran: O(5, -3)
  • Jari-jari: 4 satuan
  • Melalui A(3, 5)

Syarat garis menyinggung lingkaran adalah D = 0.

Misalkan persamaan garis y = mx + c Karena melalui (3, 5), maka: 5 = m(3) + c c = 5 - 3m

Persamaan garisnya: y = mx + (5 - 3m)

Substitusi ke rumus D: D = (x1 - x2)2 + (y1 - y2)2 - r2 x1 = 5 y1 = -3 r = 4 x2 dan y2 dari persamaan garis

D = (5 - x)2 + (-3 - (mx + 5 - 3m))2 - 16 D = (5 - x)2 + (-3 - mx - 2 + 3m)2 - 16 D = 25 -10x + x2 + 9 - 6mx + m2x2 + 4 - 12m + 9m2 - 16 D = x2(1 + m2) + x(-10 + 6m) + 18 - 24m + 9m2

Agar D = 0: 18 - 24m + 9m2 = 0 9m2 - 24m + 18 = 0 (3m - 2)(3m - 9) = 0 m = 2/3 atau m = 3

Jadi persamaan garis yang menyinggung lingkaran dan melalui A(3,5) adalah: y = (2/3)x + 7/3 atau y = 3x - 6

Contoh 9: Diketahui lingkaran x2 + y2 - 6x + 8y + 13 = 0. Tentukan nilai k agar garis y - kx + 4 = 0 memotong lingkaran di titik yang berbeda!

  • Persamaan lingkaran: x2 + y2 - 6x + 8y + 13 = 0
  • Persamaan garis: y - kx + 4 = 0

Substitusi: (y - kx + 4)2 + x2 - 6x + 8(y - kx + 4) + 13 = 0 y2 - 2kyx + k2x2 + 8y - 8kx + 16 + x2 - 6x + 8y - 8kx + 32 + 13 = 0 (1 + k2)x2 + (8 - 6 - 8k)x + (8 + 16 + 32 + 13) = 0

Agar memiliki akar ganda (titik potong berbeda), maka D < 0. D = (8 - 6 - 8k)2 - 4(1 + k2)(8 + 16 + 32 + 13) D = 64 - 96k + 64k2 - 4 - 4k2 - 208 - 128 - 52 D = 60 - 96k + 60k2

Agar D < 0: 60 - 96k + 60k2 < 0 60(1 - k + k2) < 0 1 - k + k2 < 0 (k - 1)(k + 1) < 0 -1 < k < 1

Jadi nilai k agar garis memotong lingkaran di titik berbeda adalah -1 < k < 1.

Contoh 10: Diketahui titik A(2, 3), B(5, 5) dan C(4, 1) sebagai pusat lingkaran. Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung garis AB!

  • Titik A(2, 3)
  • Titik B(5, 5)
  • Titik C(4, 1) sebagai pusat lingkaran

Rumus garis AB: y - y1 = m(x - x1) m = (y2 - y1)/(x2 - x1)
= (5 - 3)/(5 - 2) = 2/3

Persamaan garis AB: y - 3 = (2/3)(x - 2) y - 3 = (2/3)x - 4/3 y = (2/3)x - 1

Syarat lingkaran menyinggung garis AB adalah nilai D = 0.

Misalkan persamaan lingkaran: (x - x1)2 + (y - y1)2 = r2

x1 = 4 (titik C) y1 = 1 (titik C)

Substitusikan persamaan garis AB ke persamaan lingkaran: ((2/3)x - 1 - 1)2 + (x - 4)2 = r2 (2/3)2x2 - 4/3x + 1 + x2 - 8x + 16 = r2 (4/9 + 1)x2 + (-4/3 - 8)x + 17 = r2

Agar D = 0: (-4/3 - 8)2 - 4(4/9 + 1)(17) = 0 16/9 + 64/3 + 64 - 68/9 - 68 = 0 136/9 - 4/9 = 0 r2 = 16

Jadi persamaan lingkaran yang menyinggung AB adalah: (x - 4)2 + (y - 1)2 = 16

Demikian 10 contoh soal menentukan kedudukan garis terhadap lingkaran beserta pembahasannya. Semoga bermanfaat untuk meningkatkan pemahaman materi ini. Jangan lupa terus berlatih agar semakin mahir. Selamat belajar dan semangat!

Comments

Artikel Terbaru